生活中的贝叶斯定理

上图所示就是贝叶斯定理的公式表达,P(A|B)是在B事件发生的情况下A事件发生的概率,同样的右式中P(B|A)就是在A事件发生的情况下B事件发生的概率,而P(A)、P(B)分别是A事件发生的概率和B事件发生的概率。

P(A)和P(B)称作先验概率,P(A|B)和P(B|A)称为后验概率。

式子的通俗表达就是:对一件事情的认知程度会随着另一件事情的发生而产生改变

公式的推导如下:

P(A|B)是事件B发生的情况下A发生的概率,所以P(A|B) = P(A∩B) / P(B),即A和B同时发生的概率除以B事件发生的概率。这也很好理解,例如你掷骰子,在什么的不知道的情况下让你猜,你会觉得点数是1的概率只有1/6;而现在告诉你,掷出的点数是红色的,这时候你就会觉得点数是1的概率变为了1/2。

假设A事件:点数是1B事件:点数是红色的,那么P(B) = 2/6 = 1/3 ,P(A∩B) = 1/6,所以P(A|B) = P(A∩B)  / P(B) = (1/6) / (1/3) = 1/2。

由于

1 ------------ P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

所以A、B互换后得

2 ------------ P(B|A) = P(B∩A) / P(A)

移项得

3 ------------ P(B∩A) = P(A) * P(B|A)

把3代入1就可以得到贝叶斯公式了。


接下来举个例子。

假如某天我和小黄去吃晚饭,我问小黄下午在做什么,我们都知道小黄很爱学习,所以我认为小黄多半下午是待在学校读书。但小黄说自己没有在读书,而是和女朋友出去逛街了。正说着,小黄为了证明自己的“清白”,开始翻书包寻找购物的票据。但是他翻了很久都没有找到。就在我逐渐认为这小子一定是为了掩盖自己学习的行径而选择用这种方式来糊弄我的时候,小黄翻出了一打票据,上面写着的确是下午的一系列的时间在各大市中心商场的大额购物清单,这下我确信了他确实没有待在学校读书,我开始想着这小子怎么这么有钱,看来这顿得让他请客

用贝叶斯公式来解释,假设A事件为小黄下午在学校学习B事件为小黄找到购物的票据,那么由贝叶斯公式可以知道P(A|B)即小黄找到票据的情况下,我认为小黄下午在学校学习的概率,这个概率与P(B|A)和P(A)成正比,与P(B)成反比。而小黄的目的就是让P(A|B)的概率变得尽量的小,他可以从等式右侧的三个方面入手。

首先是P(A),由于与P(A|B)成正比,所以小黄要做的事情就是让P(A)变小,也就是说如果他平时就很少在学校学习,那么这个概率就会变小。

同样的P(B),由于和P(A|B)成反比,所以小黄要做的事情应该是让P(B)变大,也就是说如果他平时就养成好习惯,收藏好购物票据,那么这个概率就会变大。

还有一个P(B|A),它也和P(A|B)成正比,它的含义是小黄下午在学习的情况下,还能找出下午购物票据的概率。这个就是当下可以改变的事情,小黄要做的事情是让我相信这个概率非常非常的小。有一种办法就是不要轻易的拿出票据,而是做一定的修饰。试想,如果小黄一下就从口袋里掏出了票据,反而使得这个事件发生的概率一下变大了;而如果他翻书包找了很久,那反而更容易让我相信这件事情发送的概率之小。

很多情况下还可以做得更好,也就是让对方更加确信你所说的话,比如你可以先对B事件做隐藏,让对方连续追问,最后再假装经不起追问的的样子,摆出B事件,并且对隐藏之事作出解释。

这样的例子在影视作品中和日常生活中数不胜数,有兴趣的话可以尝试建模分析一下试试。

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